ВЛИЯНИЕ УПРУГОСТИ КОНСТРУКЦИИ САМОЛЕТА НА ДИНАМИКУ ПОЛЕТА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

У современных самолетов, обладающих большими скоростя­ми, в полете возникают довольно значительные деформации кон­струкции. При большинстве эволюций самолета его движение характеризуется очень малыми частотами, а собственные частоты упругих колебаний элементов самолета значительно выше (на порядок и более). Поэтому при медленных эволюциях самолета упругие деформации его конструкции не оказывают существен­ного влияния на динамику полета. Именно этим объясняется то обстоятельство, что в работах по динамике полета самолет обыч­но считается твердым телом.

При полете самолета в возмущенной атмосфере перегрузки изменяются очень резко, практически повторяя пульсации скоро­сти ветра. Как будет показано ниже, деформации конструкции в этих условиях могут оказывать существенное влияние на динами­ку самолета.

Выведем уравнения продольного движения упругого самолета, летящего с постоянной скоростью. Эти уравнения могут быть получены путем рассмотрения вертикального перемещения всех

"їочек самолета. Вертикальное перемещение любой точки само­лета в земной системе координат определяется выражением-

Ду (*, г, /)=£?,(*. z)q((t), (3.86)

i = i

где qi — і-ая обобщенная координата движения самолета, соот­ветствующая одной из п учитываемых степеней сво­боды;

%і — і-ая нормальная форма колебаний, с помощью которой координата qi преобразуется в вертикальное переме­щение.

Так как уравнение (3.86) должно учитывать полное верти­кальное перемещение любой точки самолета, то понятие «нор­мальная форма» в этом уравнении распространяется не только на упругие колебания, но и на колебания самолета как твердого тела.

Уравнение Лагранжа для упругого тела имеет вид

— — Д———- ——= (3-87)

dt dqi dqi dqi

где T — кинетическая энергия тела;

U — потенциальная энергия тела, обусловленная его дефор­мацией;

qi — скорость изменения t-ой обобщенной координаты;

Fi — обобщенная сила или момент, вызывающий изменение і-ой обобщенной координаты.

Кинетическая энергия любой точки самолета, имеющей массу Ат(х, г), при ее вертикальном перемещении выражается фор­мулой

— btn {x, z) £ (•*> г) ь (■*, г)Яі (Ot )=і

Отсюда получаем

После интегрирования выражения (3.89) по поверхности са­молета в плане получаем первый член левой части уравнения

(3.87)

В формуле (3.90) через Мц обозначены обобщенные инерци­онные коэффициенты, которые определяются выражением

= !*(*^> (^» ^0(*^, z) dx dz, (3.91)

s

где p(*, z) — масса на единицу поверхности самолета S в плос­кости xoz, по которой берется интеграл (3.91). Второй член левой части уравнения (3.87) равен нулю, так как кинетическая энергия самолета не зависит от координаты qt. Третий член левой части этого уравнения, учитывающий потен­циальную энергию деформации самолета, определяется методом Релея [39]. Идея этого метода заключается в том, что упругие колебания частей самолета, имеющие, как правило, довольно слабое затухание, при определении третьего члена уравнения

(3.87) считаются незатухающими. Вследствие этого экстремаль* ные значения кинетической и потенциальной энергий колебаний элементов конструкции самолета равны друг другу. Очевидно, что максимум потенциальной энергии имеет место в тот момент, когда эти элементы занимают одно из крайних положений, и их кинетическая энергия равна нулю, а максимум кинетической энергии — в момент, когда эти элементы приходят через положе­ние равновесия, и их потенциальная энергия равна нулю. Поло­жим, что обобщенные координаты упругих степеней свободы изменяются по синусоидальному закону

sin «>/,*/, (3.92)

где щн — собственная частота й-ой гармоники колебаний в £-ой степени свободы.

Ограничимся лишь первой гармоникой этих колебаний и ин­декс k=l опустим. Подставив (3.92) в (3.90) и произведя инте­грирование по поверхности самолета S, получим максимальное значение кинетической энергии для упругой формы колебаний

TiM=MnmXt /= 1,2……………….. п, (3.93)

где Мц — определяется формулой (3.91).

С другой стороны, потенциальная энергия при деформации пропорциональна квадрату обобщенной координаты. Для t-oft координаты получаем

Ui=ciq]{t). (3.94)

где сі — неизвестный коэффициент пропорциональности. Максимальное значение потенциальной энергии равно

В соответствии со сказанным выше для определения коэффи­циента Сі можно приравнять максимальные значения кинетиче­ской (3.93) и потенциальной (3.95) энергий, в результате чего получаем

с{=Мц ш*. (3.96)

Подставив значение в (3.94), находим

(3.97)

Дифференцируя (3.97) по qiy определяем третий член уравне­ния (3.87)

(3.98)

Обобщенная сила F*, стоящая в правой части уравнения

(3.87) , определяется через работу, проделанную внешними сила­ми на виртуальном перемещении qi. Таким образом, общее вы­ражение для этой силы должно иметь вид

(3.99)

dqt

где W — работа внешних сил.

Подставляя в уравнение (3.87) значения всех его членов из (3.90), (3.98) и (3.99), получаем уравнения продольного движе­ния ynpyforo самолета в форме

П

£Л^(0+Л/Аг(0=-^ , <-1,2……………………………. п. (3.100)

)=і 1

Наиболее существенными видами деформаций для современ­ных самолетов являются изгиб и кручение крыла, а в некоторых случаях и изгиб фюзеляжа. Уравнения (3.100) позволяют учесть

влияние первых гармоник (тонов) любых видов дефор­мации самолета. В приводи­мом ниже примере анализа движения упругого самолета в турбулентной атмосфере учтем лишь основную де­формацию— первую форму изгиба крыла. Пренебреже­ние другими формами изгиб — ных колебаний, соответст­вующими более высоким частотам, основывается на физически очевидном иред-

ЛОЛОЖеНИ’И, что упругие степени свободы влияют на устойчивость и управляемость самолета только тогда, когда их частоты отно­сительно низки. При таком допущении продольное движение са­молета, летящего с постоянной скоростью, может быть описано с помощью трех обобщенных координат (рис. 3.34): qi=A# — изменение угла тангажа;

<72=ДУд — вертикальное перемещение центра тяжести само­лета;

Яз=Ук— вертикальное отклонение оси жесткости крыла у его конца.

dt[27]

2*

Подставив эти координаты в уравнения (3.100), получим си­стему уравнений (п—3):

В качестве объектов расчета в данном параграфе будут ис­пользоваться большие самолеты № 1 и № 3*. Характеристики самолета № 3 заимствованы из работы [40]. Формулы для рас­чета инерционных коэффициентов и их значения для самолетов № 1 и № 3, а также общие соображения по вычислений первой формы изгибных колебаний крыла приведены в «Приложении В».

Уравнения (3.101) отличаются от уравнений жесткого само­лета только учетом изгибных колебаний крыла. Если положить ук=dyKldt=d2yjdt2=0, то эти уравнения превратятся в упро­щенные уравнения короткопериодического движения самолета

(2.11) . Поэтому правые части первых двух уравнений должны содержать все члены, которые входят в уравнения (2.11). Кроме того, в правых частях этих уравнений появятся силы и моменты, обусловленные колебаниями крыла. В правую часть третьего из уравнений (3.10) войдут аэродинамические силы, вызываемые как колебаниями крыла, так и движением всего самолета.

Учитывая сравнительно низкую частоту первой гармоники изгибных колебаний крыла, определение сил и моментов, связан­ных с этими колебаниями, проведем на основе гипотезы стацио­нарности (см. «Приложение В»). После определения и подста­новки в систему (3.101) значений обобщенных сил, а также после приведения этой системы к более удобному виду, получаем урав­нения самолета с упругим крылом, летящего в поле скоростей вертикального ветра:

42Д» У* dt2

rfVVy I t 1/ I ». I и аУ* і + ^^y + *K — ПГ + К—ГГ +

у w gy * ~K rf/2 + *кУк = ^^у,

rf*

rfv^y d*yK dyK C—— CyVgy-tCк,„2 +Ck ^ +

dP ‘ dt 1 ^ dt ‘ ~У ’ gy ‘ dP + *k "Tf + К + ен) Ук = e-yWy.

Формулы для коэффициентов уравнений (3.102) и их значения для самолетов № 1 и № 3 приведены в «Приложении В».

Для исследования управляемого полета система уравнений (3.102) была дополнена уравнением автопилота (2.14) без кор­ректора высоты.

Рассмотрим динамические характеристики самолета с упру­гим крылом при воздействии на него ступенчатого вертикального порыва ветра. Результаты интегрирования уравнений (3.102) в форме осциллограмм переходных процессов представлены на приводимых ниже рисунках. Все данные на этих рисунках отно­сятся к действию на самолет вертикального ветра, имеющего скорость Wv= м! сек.

Рассмотрим вначале осциллограммы переходных процессов для самолета № 1. На рис. 3.35 показана реакция самолета с автопилотом на управляющий сигнал Aft3=l°. Рис. 3.35, а отно­сится к жесткому, а рис. 3.35, б — к упругому самолетам. На по­следнем рисунке приведена осциллограмма для отклонений конца крыла (ук). Сравнение этих рисунков показывает, что при обыч­ных медленных эволюциях самолета изгиб крыла не оказывает существенного влияния на характер изменения параметров ко­роткопериодического движения. Поэтому для анализа медленных движений самолета вполне допустимо использовать представле­ние о самолете как о твердом теле, что и было отмечено вначале этого параграфа.

На рис. 3.36 показана реакция жесткого самолета с автопило­том (о) и с зажатым рулем (б) на единичный порыв ветра. Этот рисунок дан для сравнения динамических характеристик жест­кого и упругого самолета, реакция которого на единичный порыв показана на рис. 3.37. Рис. 3.37,а относится к самолету с авто­пилотом, рис. 3.37,6 — к самолету с зажатым рулем. Сравнение кривых на 3.36 и 3.37 дает основание утверждать, что упругость крыла практически не влияет на характер реакции по углу тан­гажа и вертикальной скорости и существенно изменяет характер

•і

Рис. 3.35. Реакция самолета № 1 с автопилотом на управляющий сигнал по тангажу: а — жесткого; б — с учетом изгиба крыла

5 СЄН Рис. 3.36. Реакция жесткого самолета № 1 на единичный вер* тикальный порыв ветра: а — с автопилотом; б — с зажатым рулем

реакции по вертикальной перегрузке. Для упругого самолета значительно (почти в два раза) снижается начальное значение перегрузки. Это снижение объясняется тем, что эффективный угол атаки, а следовательно, и приращение подъемной силы при изгибе крыла становятся меньше, чем у жесткого крыла. Однако у жесткого самолета перегрузка вначале резко падает, а у само-

лета с гибким крылом вначале растет, причем максимальное значение перегрузки становится больше начального значения для жесткого самолета.

Отклонение — конца крыла (см. рис. 3.37) практически повто­ряет закон изменения перегрузки. Исключением является на­чальный момент, в который перегрузка возрастает мгновенно, а отклонение конца крыла — более плавно. Максимальное откло­нение конца крыла достигает 0,037 м при скорости вертикального порыва Wv= 1 м/сек. Отклонение сравнительно невелико потому, что рассматривается режим полета на высоте t/g=8000 м, где плотность воздуха сравнительно малая. У земли это отклонение значительно возрастает.

Самолет № 1 имеет прямое крыло. Изгиб стреловидного крыла сопровождается некоторой особенностью — появлением дополни­тельного отрицательного угла атаки, уменьшающего общее при­ращение угла атаки, которое получалось бы для прямого крыла. Для иллюстрации влияния стреловидности крыла на динамику самолета с гибким крылом ниже приведены осциллограммы переходных процессов, вызванных воздействием единичного сту­пенчатого порыва ветра на самолет № 3, имеющий стреловидное крыло.

Реакция жесткого самолета с автопилотам (а) и с зажатым рулем (б) показана на рис. 3.38. Те же характеристики для упру-

Рис. 3.38. Реакция жесткого самолета № 3 на единичный порыв ветра:
а —с автопилотом; б —с зажатым рулем

того самолета приведены на рис. 3.39. Сравнение этих рисунков позволяет утверждать, что за счет стреловидности крыла доволь­но существенно снижается перегрузка самолета при действии единичного порыва. Чтобы подтвердить факт снижения перегруз­ки именно вследствие стреловидности крыла, на рис. 3.40 пока­зана реакция самолета № 3 на единичный порыв в предположе­нии, что стреловидность крыла у него равна нулю. Все весовые, аэродинамические и прочностные характеристики крыла и всего самолета сохранены прежними. Сравнение графиков на рис. 3.39 и 3.40 убедительно свидетельствуют о положительном влиянии стреловидности на динамические характеристики упругого само­лета в возмущенной атмосфере. Заметим, что если не учитывать изгиб крыла, то и при стреловидном и при прямом крыле будет получена одинаковая реакция самолета на единичный порыв, приведенная на рис. 3.38.

Перейдем к количественной оценке влияния изгиба крыла на динамику полета в турбулентной атмосфере.

Рассмотрим спектральные плотности и среднеквадратичные значения параметров продольного движения самолета в этих условиях.

На рис. 3.41 показаны спектральные плотности приращений угла тангажа и вертикальной перегрузки самолета № 1 при по-

Рис. 3.39. Реакция самолета № 3 (со стреловидным крылом) на единичный вертикальный порыв ветра с учетом изгиба крыла: а — с автопилотом; б — с зажатым рулем

5 сек

Рис. 3.40. Реакция самолета № 3 на единичный вертикальный порыв ветра в предположении,

что стреловидность у него отсутствует:
а — е автопилотом; б — с зажатым рулем

лете в поле скоростей вертикальных порывов. Те же данные для самолета № 3 даны на рис. 3.42. Кривые, отмеченные цифрой /, относятся к жесткому самолету, цифрой 2 — к самолету с гибким прямым крылом, цифрой 3 — к самолету с гибким стреловидным крылом. Цифрами без штриха отмечены кривые для самолета с автопилотом, цифрами со штрихом — к самолету с зажатым

Рис. 3.4І. Нормированные спектральные плотности приращения угла тангажа («) и вертикальной перегрузки (б) самолета № 1 с зажатым рулем и с авто­пилотом; штрихом отмечены кривые для самолета с зажатым рулем: і — жесткий самолет; 2 — с учетом изгиба крыла

рулем. В табл. 3.1 приведены среднеквадратичные значения угла тангажа и оіерегрузки для всех случаев, показанных на рис. 3.41—3.42. Как кривые спектральных плотностей на всех рисун­ках, так и данные табл. 3.1, относятся к масштабу турбулентности /.=300 лик действию на самолет случайного ветра с дисперсией = 1 м21сек2.

Графики на рис. 3.41, а и 3.42,6 и данные табл. 3.1 показы­вают, что упругость крыла не оказывает существенного влияния на спектральную плотность и среднеквадратичное значение коле­баний угла тангажа.

5*

виг* виг* S-в’*

в і:3456789 ш, свк~* S) Рис. 3.42. Нормированные спектральные плотности приращений угла тангажа (а) и вертикальной перегрузки (б) самолета № 3 с зажатым рулем и с автопилотом; штрихом отмечены кривые для самолета с зажатым рулем: I — жесткий самолет; 2 — с учетом изгиба прямого крыла; 3 — с учетом из­гиба стреловидного крыла

13І

Кривые на рис. 3.41—3.42	1	Г	2	2′	3	3′
в угл. мин	Самолеты	№ 1	4,0	11,0	4.0	И,7	—	—
№ 3	5.4	12,0	6,6	10.0	6,0	12,6
<*Пу	Самолеты	№ 1	0,044	0.052	0,054	0,059	—	—
№ 3	0,066	0,073	0,078	0,093	0,052	0,061

Графики спектральной плотности перегрузки на рис. 3.41,6 и 3.42, б существенно отличаются для различных рассмотренных случаев и поэтому требуют более детального обсуждения. Срав­ним друг с другом кривые, относящиеся к одному методу управ­ления (с автопилотом или без него). Кривые на рис. 3.41,6 пока­зывают, что у самолета № 1 изгиб крыла сказывается совершенно одинаково при полете с автопилотом и с зажатым рулем. Изгиб вызывает появление второго пика на частоте, несколько меньшей 2 гц, что приводит к некоторому увеличению перегрузки. Этот результат подтверждается осциллограммами на рис. 3.36 и 3.37.

Для самолета № 3 (рис. 3.42,6) гибкость крыла наоборот приводит к уменьшению перегрузки (кривые 3 и <?’) по сравнению с перегрузкой жесткого самолета (кривые 1 и Г). Снижение перегрузки у самолета № 3 за счет изгиба стреловидного крыла связано, как уже упоминалось, с появлением отрицательного угла атаки. Это совпадает с выводами, сделанными на основании пере­ходных функций для самолета № 3 (рис. 3.38 и 3.39). Прямое гиб­кое крыло у самолета № 3 (рис. 3.42, кривые 2 и 2′) значительно увеличивает перегрузку. Это связано с наличием пика на кривых спектральной плотности с максимумом в области 1 гц. Включение автопилота во всех рассмотренных случаях приводит к уменьше­нию перегрузки на 10—15%.

Для более четкого представления о влиянии изгиба крыла на перегрузку самолета при полете в турбулентной атмосфере при­ведем графики зависимости среднеквадратичного значения пере­грузки в функции масштаба турбулентности. Данные приводятся только для самолета с автопилотом. Кривые для самолета с за­жатым рулем имеют тот же характер, но располагаются не­сколько выше соответствующих кривых для самолета с авто­пилотом.

На рис. 3.43 приведены данные для жесткого самолета № 1 (кривая 1) и для этого же самолета с упругим крылом (кривая

КЙ;

2). В области наиболее вероятного масштаба L = 300 м увеличе­ние перегрузки за счет изгиба крыла составляет около 15%, а для самого малого масштаба L = 50 м это увеличение составляет 35%.

На рис. 3.44 даны среднеквадратичные значения перегрузки для жесткого самолета № 3 (кривая /) и для этого же самолета с прямым (кривая 2) и стреловидным (кривая 3) гибкими крыльями. Здесь влияние изгиба крыла проявляется в еще более сильной степени, чем для самолета № 1.

Таким образом, изгиб крыла, особенно для больших самоле* тов, приводит к существенному изменению величины перегрузки, испытываемой при полете в турбулентной атмосфере. Для само — летов с прямым крылом изгиб последнего увеличивает средне­квадратичное значение перегрузки в этих условиях. Изгиб стре­ловидного крыла (при обычных для современных самолетов значениях угла стреловидности) может снизить перегрузку от атмосферных возмущений.